مسئله جعبه کبریت باناخ
استفان باناخ در حال سیگار کشیدن :))
حول و حوش ۶۶ سال قبل از تولد من (۱۹۳۵) عده‌ای از ریاضی‌دانان لهستانی در کافه‌ای کوچکی به اسم کافه اسکاتلندی در شهر لووف دور هم جمع می‌شدند و با هم گَپ می‌زدند. باناخ یکی از همین ریاضی‌دانان بود. هر شب سوالی مطرح می‌شد و در جمع دوستانه، جایزه‌ای برای کسی که سوال را حل خواهد کرد در نظر گرفته می‌شد. گاهی یک فنجان قهوه بود، گاهی پنج بطری نوشیدنی و گاهی یک عدد غازِ زنده! (احتمالا سوالاتی که در این کتاب حل نشده باقی ماندند جایزه‌شان غاز کبابی بوده است!) باناخ پیشنهاد کرد که دفتری خریداری شود تا خلاصه‌ای از مباحث هر شب را در آن یادداشت کنند. زمان گذشت و گذشت، تاریخ آخرین مساله‌ای که در این کتاب نوشته شده است برمی‌گردد به ۱۹۴۱ (اگر خیلی علاقه‌مندید یعنی ۶۰ سال قبل از تولد من :دی).
۶ سال بعد از درج اولین مساله، این جمع هم مثل بقیه جمع‌ها از هم می‌پاشد اما یادگاری آن جمع، دفتر اسرارآمیز باناخ، توسط فرزندش پیدا می‌شود و مسائل این دفتر چاپ می‌شوند. الان هم می‌توانید نسخه‌ای از همین دفتر را از اینجا دانلود کنید. بسیاری از مسائل به طور خلاصه نوشته شده‌اند و کامل نیستند. روی سوالات توسط ریاضی‌دانان حدس زده شده است و در همین کتاب هم گرد‌آورنده آنها را به مسائل «الصاق» کرده است. (این واژه را به کار می‌برم چون معلم ریاضی دوران راهنمایی‌مان هر وقت جا برای نوشتن پاسخ توی ورقه امتحانی کم می‌آوردیم مجبورمان می‌کرد بعد از نوشتن خلاصه جواب در برگه اصلی، ادامه‌اش را در برگه دیگری نوشته و به برگه اصلی به قول خودش الصاق کنیم! به هر حال در دوران راهنمایی که البته اخیرا به آن متوسطه دوره اول می‌گوید، این واژه برای ما ثقیل و بانمک بود)
وقتی باناخ آخرین مسئله دفتر را می‌نوشت شاید نمی‌دانست قرار است آخرین باشد و یا حتی قرار است بعدها آن مسئله (مثل بعضی دیگر از قضایا در ریاضیات) با نام خودش شناخته شود! همانطور که گفتم در ۳۱ می ۱۹۴۱ آخرین مسئله این دفتر ثبت می‌شود و توضیح آن فقط همین یک جمله است:«دو جعبه کبریت با ۵۰ کبریت در هر کدام.» بعدها این مسئله معروف شد به «مسئله جعبه کبریت باناخ» که روی کامل‌تر آن را اینطور نوشته‌اند:
یک ریاضیدان (البته از آنجا که دیگر ریاضی‌دانان کمتر سیگار می‌کشند باید گفته شود یک ریاضیدان مشخص، که سیگاری است) همیشه دو جعبه کبریت که هر کدام حاوی ۵۰ چوب کبریت هستند، یکی را در جیب راست و یکی را در جیب چپ با خود حمل می‌کند. هر بار که می‌خواهد سیگارش را روشن کند به طور اتفاقی دست به یکی از جیب‌هایش می‌برد، جعبه را برمی‌دارد و یک چوب کبریت از آن بیرون می‌کشد (احتمال برداشتن از جیب سمت راست برابر احتمال برداشتن از جیب سمت چپ است). وقتی ریاضیدان برای اولین بار با یک جعبه خالی مواجه می‌شود احتمالا در جعبه دیگر چند چوب کبریت باقی مانده است؟
حدس می‌زنید جواب مسئله چند است؟ کمی وقت بگذارید و روش فکر کنید. راستش رو بخواهید این مسئله آنقدر هم که به نظر میاد ساده نیست. من هم در تلاش اول حتی درست متوجه نشدم استادم چطور آن را حل کرد! فهمیدن راه حل مسئله به نظرم خیلی جذاب بود و چند روز فکر کردم که راه حل این مسئله رو به زبانی مطرح کنم که بشه بدون داشتن اطلاعات خاصی از علم احتمال کاملا فهمیدش اما متاسفانه تلاش‌های من موفقیت‌آمیز نبود. معمولا این مسئله در کتاب‌های مرجع احتمالِ ابتدایی زمانی مطرح میشه که کتاب‌ها به معرفی «متغییر تصادفی دوجمله‌ای منفی» می‌‌پردازند.
پاسخ این سوال حدودا ۷ است. یعنی اگر بی‌نهایت‌تا ریاضیدان سیگاری بدین ترتیب سیگارهای خود را روشن کنند و وقتی برای اولین بار با جعبه خالی مواجه می‌شوند تعداد چوب کبریت در جعبه دیگر را بشمارند به طور میانگین حدودا ۷ چوب کبریت باقی مانده در جعبه دیگر خواهیم داشت. این همان مفهوم امید ریاضی است! اگر خیلی کنجکاو هستید راه حل این مسئله را در صفحه ویکی‌پدیا آن ببینید. یک راه حل خلاقانه دیگر که به نظر درست می‌رسد هم اینجا نوشته شده که می‌توانید به آن سری بزنید. حداقل چیزهایی که برای خواندن راه حل این مسئله نیاز دارید دانستن مفهوم امید ریاضی و کمی ترکیبیات و شمارش است. شاید به همین دلیل است که این مسئله مثل مسئله مانتی هال به سر زبان‌ها نیفتاده است!
